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1. 공리 (axiom)
어떤 명제가 참임을 믿게 하려면 이미 인정할 수 있는 다른 명제로부터 논리적으로 추론
될 수 있다는 것을 보여주어야 한다. 이렇게 계속해 나가면 결국 더 이상 정당화할 필요가
없는 어떤 명제에 도달하게 된다. 그것이 바로 공리이다.
공리 중에서 기하학 특유의 것을 공준(postulate)이라 했는데, 현대에는 이것을
구별하지 않고 모두 공리라고 한다.
어떤 명제의 증명이 옳다는 것을 인정하기 위해서는 다음 두 가지가 필요하다.
[약속Ⅰ] ‘공리’를 인정한다.
[약속Ⅱ] ‘추론규칙’을 인정한다.
수학적 체계마다 무엇을 공리로 삼느냐 하는 것은 매우 중요하므로 신중해야 한다.
독립성(한 공리가 다른 공리들로부터 증명되지 않음), 완전성(공리들로써 모든
명제가 증명 가능함), 무모순성(어떤 명제와 그의 부정이 동시에 증명되는 경우가 없음)
을 생각해야하기 때문이다.
고등학교에서는 실수의 기본성질을 공리로 삼으며 (수학Ⅱ의 공간도형 편에
3개의 공리가 있음), 그 외에는 대부분 정의들로 구성되어있다.
2. 정의 (definition)
정의란 어떤 수학적 체계에서 사용할 용어의 뜻을 한정하여 명확히 기술해 놓은
하나의 약속을 말한다. 어떤 용어를 정의 할 때는 정의 하고자 하는 용어의 뜻을
가진 낱말을 사용해서는 안 된다. 만약 그렇게 하면 결국
순환논법(vicious circle)에 빠지게 된다. 이런 의미에서 보면 모든 용어를
정의 할 수는 없다는 것을 이해하게 될 것이다.
그래서 우리가 기본적으로 상호 이해하고 있다고 생각되는 용어 몇 개를 정의하지 않고
사용하는데 예를 들면, 기하학에는 다른 용어를 정의하는데 기초로 사용되는 점,
직선, ～위에 있다, ～사이, 합동이 있다.
그런데 용어를 정의하는 일은 쉬운 것이 아니다. 낱말의 의미는 자연적인 속성이
아니고 그런 의미를 갖도록 하자고 동의하는 사람들에 의하여 부여되는 것이다.
낱말의 의미를 확립하는 약정이 있다면 의미를 가진다.
정의는 약정을 정확하게 표현하는 것 이여서 옳지도 그르지도 않다. 정의를 시도하는
일은 어떤 제안을 하는 것과 마찬가지여서 그 제안을 받아들이거나 거부 할 수는
있지만 옳다거나 그르다고 할 수는 없다.
정의는 사실에 관한 진술이라기 보다는 ‘규칙‘’ 과 같은 것이다. 정의는 옳지도
그르지도 않다 하더라도 그 ‘적합성’의 여부는 그것이 일정한 목적을 달성시키는
능력에 따라 판정될 수 있다.
G.Cantor는 집합의 이론을 세울 때, 집합을 “우리의 직관이나 지각의 대상들로 명확하게
구별할 수 있는 것들의 모임을 하나의 전체로 생각한 것”이라 정의하였다. 이 정의가
매우 그럴 듯 하지만 B.Russel은 지각의 대상들의 모임으로써 R={χ|χχ} 와 같은 집합을
생각하여 집합론의 근본을 흔들어 놓았었다.
즉, R∈R 라 할 수도 없고, RR라 할 수도 없는 역설(paradox)을 발견했던 것이다.
사실 R은 모든 집합의 집합이다.
현대에서는 집합을 무정의 용어로 받아들이고 공리로써 그 성질을 규정한다.
(Zermelo, Fraenkel). 수체계에서도 ‘자연수’를 정의하기가 매우 곤란하다고 하여
무정의 용어로 하고 공리로써 그 성질을 규정한다 (Peano).
참고로 B.Russel이 만든 유명한 ‘이발사 이야기’를 소개한다.
“ 자기 자신을 면도하지 않는 사람들, 그들만을 면도해 주는 이발사 한 사람이 있다.
이때 이 이발사의 면도는 누가 할 것인가? “
스스로 면도한다면 자기 자신을 면도하는 사람(자신)을 면도해주고 있는 셈이므로
스스로 면도할 수 없다. 그리고 스스로 면도하지 않는다면 자신도 면도해 주어야 할
대상이 되므로 면도해 주어야 한다. 즉, 스스로 면도해야 한다.
문기영 수학클리닉
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